数学建模的问题方桌如何放稳

椅子能在不平的地面上放稳吗？

把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。

一、模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。
3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

二、模型建立
中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为，B、D两脚与地面距离之和为，显然、，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知、至少有一个为0。当时，不妨设，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
命题已知、是的连续函数，对任意， * 0，且，则存在，使。

三、模型求解
将椅子旋转，对角线AC和BD互换，由可知。令，则，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在使，，由，所以。

四、模型的进一步讨论

Ⅰ.考虑椅子四脚呈长方形的情形
设A、B两脚与地面之和为，C、D两脚与地面距离之和为，为AC连线与x轴正向的夹角（如图2所示）。显然、，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知、至少有一个为0。当时，不妨设，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
命题已知、是的连续函数，对任意， * 0，且，则存在，使。

图2 长方形椅脚
将椅子绕对称中心旋转180°（π），正方形ABCD变成了C’D’A’B’（如图2），即AB与CD互换，由可知。令，则，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在使，即，由，所以。
Ⅱ.考虑椅子四脚呈不规则四边形（即任意四边形）的情形
在椅子四脚连线所构成的四边形ABCD的内部任取一点O，作为坐标原点，建立直角坐标系，记AO与x轴正向夹角为，记A、B两脚与地面距离之和为，C、D两脚与地面距离之和为，根据假设3不妨设当时，，将椅子逆时针旋转一定角度，使A、B两脚与地面之和为0，此时，AO与x轴正向的夹角变为，由假设3（任意时刻椅子至少有3只脚着地）易知当，，令，则，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 , ,使，即，由，所以。

图3 不规则四边形

五、评注
模型巧妙在于用已元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90°并不是本质的。我们在模型的进一步讨论中更证实了更一般的结论：四脚连线为不规则四边形的椅子能在不平的地面上放稳。

(图形无法在此显示，需要原文，请把你的邮箱告诉我。)

佑玲天涯2024-04-22